马勒戈壁: 莫比乌斯带：只有一面的魔环

2009-03-21

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莫比乌斯带：只有一面的魔环

via 牛博国际 by 科学松鼠会 on 3/20/09

小时候手工课，经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂，在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面，纸环就变得歪歪斜斜的了。

这也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然纸环已经变成这样了，何妨把玩一番呢？要知道，这就是鼎鼎有名的莫比乌斯带。

很多读者应该都知道莫比乌斯带的特别之处：它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：

这就可以很好说明莫比乌斯带只有一个面了。

如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话，当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过，所以普通纸环不是单侧曲面，实际上每个人都知道它有两个侧面。

如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？

相信很多朋友都知道了，我也就不卖关子了：这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：

但是，可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的"莫比乌斯带"。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。

要做到同样的效果，我们也可以用两层纸带用类似做莫比乌斯带的方法来粘贴，只不过两层纸要分别粘贴而已。

好了，回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢？

好了，结果出来了，是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。

如果我们摆弄一下，能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。

再摆弄一下，又能把它们弄成一个四层的"莫比乌斯带"。

可以证明，如果我们这样不停的剪下去，每次剪出来的都是一样的纸环（中间有两圈旋转的），而且都套在一起，还能弄成一个多层的"莫比乌斯带"。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。（提示：将每次剪出来的都套成多层"莫比乌斯带"，然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环，又能套成多层的"莫比乌斯带 "）

那么，这东西有什么用呢？

首先，这东西既然是数学家做出来的，肯定是有理论上的意义的。事实上，这是数学家发现的第一个单侧曲面。

在积分理论发展的过程中，由于曲面通常有两侧，所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是，当时还没有人知道是否存在这样的曲面，它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。

而莫比乌斯带正是这样的一个单侧曲面，它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫"不可定向曲面"。

由于莫比乌斯带只有一个面，这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上，这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方，从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。

利用莫比乌斯带的想法获得的专利还不止这一个。还记得那个两层"莫比乌斯带"吗？不记得也没有关系，看下图：

如果我们把纸带想像成金属带，让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话，在纸带表面的电流有两个可能的流动方向，而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说，电流在这个装置流动的时候不会产生磁场，所以也不会有电池感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。

莫比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用，作为"无限循环"的一个象征。国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带。在《哆啦A梦》（小叮当）漫画中，就有一个形状是莫比乌斯带的道具，只要把它放在门把手上，里边的人开门就会回到同一个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑，多半也利用了类似莫比乌斯带的性质，有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿，我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知，也不用我饶舌了。

实验室中也有可能产生莫比乌斯带形状的粒子。前不久，一群科学家在Journal of Chemical Physics上发表了一篇论文，其中预言了一种莫比乌斯带形状的碳单质（准确来说应该是石墨烯）。它能抵抗摄氏200度左右的温度，算是相当稳定。由于它莫比乌斯带的结构，它应该是一个偶极子，从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。

这一切，都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。

Bonus1：

又是来自xkcd的漫画：（http://xkcd.com/381/）